Expresiile algebrice sunt cunoscute sub numele de combinație de litere, semne și numere în operații matematice. De obicei literele reprezintă cantități necunoscute și se numesc variabile sau necunoscute. Expresiile algebrice permit traducerea expresiilor limbajului matematic al limbajului obișnuit. Expresiile algebrice apar din obligația de a traduce valori necunoscute în cifre reprezentate prin litere. Ramura matematicii responsabile de studiul acestor expresii în care apar numerele și literele, precum și semnele operațiilor matematice, este Algebra.
Ce sunt expresiile algebrice
Cuprins
După cum sa menționat anterior, aceste operații nu sunt altceva decât combinația de litere, cifre și semne care sunt utilizate ulterior în diferite operații matematice. În expresiile algebrice, literele au comportamentul numerelor și atunci când iau acel curs, se utilizează între una și două litere.
Indiferent de expresia pe care o aveți, primul lucru de făcut este să simplificați, acest lucru se realizează folosind proprietățile operațiunii, care sunt echivalente cu proprietățile numerice. Pentru a găsi valoarea numerică a unei operații algebrice, trebuie să înlocuiți un anumit număr cu litera.
Multe exerciții pot fi făcute pe aceste expresii și vor fi făcute în această secțiune pentru a îmbunătăți înțelegerea subiectului în cauză.
Exemple de expresii algebrice:
- (X + 5 / X + 2) + (4X + 5 / X + 2)
X + 5 + 4X + 5 / X + 2
5X + 10 / X + 2
5 (X + 2) / X + 2
5
- (3 / X + 1) - (1 / X + 2)
3 (X + 2) - X - 1 / (X + 1) * (X + 2)
2X - 5 / X ^ 2 + 3X + 2
Limbajul algebric
Limbajul algebric este unul care folosește simboluri și litere pentru a reprezenta cifre. Funcția sa principală este de a stabili și structura un limbaj care ajută la generalizarea diferitelor operații care au loc în cadrul aritmeticii unde apar doar numerele și operațiile lor aritmetice elementare (+ -x%).
Limbajul algebric își propune să stabilească și să proiecteze un limbaj care să ajute la generalizarea diferitelor operații care sunt dezvoltate în cadrul aritmeticii, unde se folosesc doar numerele și operațiile matematice de bază ale acestora: adunare (+), scădere (-), multiplicare (x) și diviziune (/).
Limbajul algebric se caracterizează prin precizia sa, deoarece este mult mai concret decât limbajul numeric. Prin intermediul acestuia, propozițiile pot fi exprimate pe scurt. Exemplu: mulțimea multiplilor de 3 este (3, 6, 9, 12…) este exprimată 3n, unde n = (1, 2, 3, 4…).
Vă permite să exprimați numere necunoscute și să efectuați operații matematice cu ele. Exemplu, suma a două numere este exprimată astfel: a + b. Sprijină exprimarea proprietăților numerice generale și a relațiilor.
Exemplu: proprietatea comutativă este exprimată astfel: axb = bx a. Când scrieți folosind acest limbaj, cantitățile necunoscute pot fi manipulate cu simboluri simple de scris, permițând simplificarea teoremelor, formularea ecuațiilor și inegalităților și studierea modului de rezolvare a acestora.
Semne și simboluri algebrice
În algebră, atât simbolurile, cât și semnele sunt utilizate în teoria mulțimilor și acestea constituie sau reprezintă ecuații, serii, matrici etc. Literele sunt exprimate sau denumite ca variabile, deoarece aceeași literă este utilizată în alte probleme și valoarea acesteia găsește variabile diferite. Printre unele dintre expresiile algebrice de clasificare se numără următoarele:
Fracții algebrice
O fracție algebrică este cunoscută ca fiind reprezentată de coeficientul a două polinoame care prezintă un comportament similar cu fracțiile numerice. În matematică, puteți opera cu aceste fracții făcând multiplicare și împărțire. Prin urmare, trebuie să se exprime că fracția algebrică este reprezentată de coeficientul a două expresii algebrice în care numărătorul este dividendul și numitorul divizorul.
Printre proprietățile fracțiilor algebrice se poate evidenția că dacă numitorul este împărțit sau înmulțit cu aceeași cantitate diferită de zero, fracția nu va fi modificată. Simplificarea unei fracții algebrice constă în transformarea acesteia într-o fracție care nu mai poate fi redusă, fiind necesar să se factorizeze polinoamele care alcătuiesc numărătorul și numitorul.
Expresiile algebrice de clasificare se reflectă în următoarele tipuri: echivalent, simplu, corect, necorespunzător, compus din numărător sau numitor nul. Apoi îi vom vedea pe fiecare dintre ei.
Echivalenți
Vă confruntați cu acest aspect atunci când produsul încrucișat este același, adică atunci când rezultatul fracțiilor este același. De exemplu, dintre aceste două fracții algebrice: 2/5 și 4/10 vor fi echivalente dacă 2 * 10 = 5 * 4.
Simplu
Sunt acelea în care numărătorul și numitorul reprezintă expresii raționale întregi.
Proprie
Sunt fracții simple în care numărătorul este mai mic decât numitorul.
Necorespunzător
Sunt fracții simple în care numărătorul este egal sau mai mare decât numitorul.
Compozit
Sunt formate din una sau mai multe fracții care pot fi localizate în numărător, numitor sau ambii.
Numărător sau numitor nul
Apare atunci când valoarea este 0. În cazul unei fracții 0/0, aceasta va fi nedeterminată. Atunci când se utilizează fracții algebrice pentru a efectua operații matematice, trebuie luate în considerare unele caracteristici ale operațiilor cu fracții numerice, de exemplu, pentru a începe cel mai mic multiplu comun trebuie să fie găsit atunci când numitorii sunt de cifre diferite.
Atât în diviziune, cât și în înmulțire, operațiile sunt efectuate și efectuate la fel ca și cu fracțiile numerice, deoarece acestea trebuie simplificate anterior ori de câte ori este posibil.
Monomii
Monomiile sunt expresii algebrice utilizate pe scară largă, care au o constantă numită coeficient și o parte literală, care este reprezentată prin litere și poate fi ridicată la diferite puteri. De exemplu, monomiul 2x² are 2 ca coeficient și x² este partea literală.
În mai multe ocazii, partea literală poate fi alcătuită dintr-o multiplicare a necunoscutelor, de exemplu în cazul 2xy. Fiecare dintre aceste litere se numește nedeterminată sau variabilă. Un monom este un tip de polinom cu un singur termen, în plus, există posibilitatea de a fi în fața monomiilor similari.
Elemente de monomii
Dat fiind monomiul 5x ^ 3; Se disting următoarele elemente:
- Coeficient: 5
- Partea literală: x ^ 3
Produsul monomiilor este coeficientul, care se referă la numărul care apare înmulțind partea literală. De obicei, este plasat la început. Dacă produsul monomiilor are o valoare 1, nu este scris și nu poate fi niciodată zero, întrucât întreaga expresie ar avea o valoare zero. Dacă trebuie să știți ceva despre exercițiile monomiale, este că:
- Dacă unui monomiu îi lipsește un coeficient, acesta este egal cu unul.
- Dacă orice termen nu are exponent, acesta este egal cu unul.
- Dacă o parte literală nu este prezentă, dar este necesară, este considerată cu un exponent zero.
- Dacă nimic din toate acestea nu coincide, atunci nu aveți de-a face cu exerciții monomiale, s-ar putea spune chiar că aceeași regulă există și cu exercițiile dintre polinoame și monomii.
Adunarea și scăderea monomiilor
Pentru a putea efectua sume între două monomii liniari, este necesar să păstrați partea liniară și să adăugați coeficienții. În scăderile a doi monomi liniari, partea liniară trebuie păstrată, ca în sume, pentru a putea scădea coeficienții, apoi se înmulțesc coeficienții și se adaugă exponenții cu aceleași baze.
Înmulțirea monomiilor
Este un monomial al cărui coeficient este produsul sau rezultatul coeficienților, care au o parte literală care a fost obținută prin multiplicarea puterilor care au exact aceeași bază.
Diviziunea monomiilor
Nu este altceva decât un alt monomial al cărui coeficient este coeficientul coeficienților obținuți care, în plus, au o parte literală obținută din diviziunile dintre puterile care au exact aceeași bază.
Polinomiale
Când vorbim despre polinoame, ne referim la o operație algebrică de adunare, scădere și multiplicare ordonată făcută din variabile, constante și exponenți. În algebră, un polinom poate avea mai multe variabile (x, y, z), constante (numere întregi sau fracții) și exponenți (care nu pot fi decât numere întregi pozitive).
Polinoamele sunt alcătuite din termeni finiti, fiecare termen este o expresie care conține unul sau mai multe dintre cele trei elemente cu care sunt făcute: variabile, constante sau exponenți. De exemplu: 9, 9x, 9xy sunt toți termeni. O altă modalitate de a identifica termenii este că aceștia sunt separați prin adunare și scădere.
Pentru a rezolva, simplifica, adăuga sau scădea polinoame, trebuie să uniți termenii cu aceleași variabile ca, de exemplu, termenii cu x, termenii cu „y” și termenii care nu au variabile. De asemenea, este important să vă uitați la semnul dinaintea termenului care va determina dacă se adaugă, se scade sau se înmulțește. Termenii cu aceleași variabile sunt grupate, adăugate sau scăzute.
Tipuri de polinoame
Numărul de termeni pe care îl are un polinom va indica ce tip de polinom este, de exemplu, dacă există un polinom cu un singur termen, atunci acesta se confruntă cu un monom. Un exemplu clar în acest sens este unul dintre exercițiile de polinoame (8xy). Există, de asemenea, polinomul cu doi termeni, care se numește binom și este identificat prin următorul exemplu: 8xy - 2y.
În cele din urmă, polinomul a trei termeni, care sunt cunoscuți sub numele de trinomiale și sunt identificați prin unul dintre exercițiile polinomiale ale 8xy - 2y + 4. Trinomialele sunt un tip de expresie algebrică formată din suma sau diferența a trei termeni sau monomii (monomii similari).
De asemenea, este important să vorbim despre gradul de polinom, deoarece dacă este o singură variabilă, este cel mai mare exponent. Gradul unui polinom cu mai multe variabile este determinat de termenul cu cel mai mare exponent.
Adunarea și scăderea polinoamelor
Adăugarea de polinoame presupune combinarea termenilor. Termeni similari se referă la monomii care au aceeași variabilă sau variabile ridicate la aceeași putere.
Există diferite moduri de a efectua calcule polinomiale, inclusiv suma polinoamelor, care se poate face în două moduri diferite: orizontal și vertical.
- Suma de polinoame pe orizontală: este utilizată pentru a efectua operații pe orizontală, redundanța merită, dar mai întâi se scrie un polinom și apoi este urmat pe aceeași linie. După aceasta, se scrie celălalt polinom care urmează să fie adăugat sau scăzut și, în final, termenii similari sunt grupați.
- Suma verticală a polinoamelor: se realizează scriind primul polinom în mod ordonat. Dacă acest lucru este incomplet, este important să lăsați golurile termenilor lipsă. Apoi, următorul polinom este scris chiar sub precedentul, în acest fel, termenul similar cu cel de mai sus va fi mai jos. În cele din urmă, fiecare coloană este adăugată.
Este important să adăugăm că pentru a adăuga două polinoame, trebuie adăugați coeficienții termenilor de același grad. Rezultatul adăugării a doi termeni de același grad este un alt termen de același grad. Dacă lipsește un termen din oricare dintre grade, acesta poate fi completat cu 0. Și, în general, acestea sunt ordonate de la cel mai înalt la cel mai mic grad.
După cum sa menționat mai sus, pentru a efectua suma a două polinoame, trebuie doar să adăugați termenii de același grad. Proprietățile acestei operațiuni sunt alcătuite din:
- Proprietăți asociative: în care suma a două polinoame este rezolvată prin adăugarea coeficienților care însoțesc x-urile care cresc la aceeași putere.
- Proprietate comutativă: care modifică ordinea adunării și rezultatul nu poate fi dedus. Elementele neutre, care au toate coeficienții lor egali cu 0. Când se adaugă un polinom elementului neutru, rezultatul este egal cu primul.
- Proprietate opusă: formată din polinomul care are toți coeficienții inversi ai coeficienților polinomiali agregați. astfel, la efectuarea operației de adunare, rezultatul este polinomul nul.
În ceea ce privește scăderea polinoamelor, (operații cu polinoame) este imperativ să grupați monomiile în funcție de caracteristicile pe care le posedă și să începeți cu simplificarea celor care erau similare. Operațiile cu polinoame se efectuează prin adăugarea opusului subtrahendului la minuend.
O altă modalitate eficientă de a continua cu scăderea polinoamelor este să scrieți opusul fiecărui polinom sub celălalt. Astfel, monomii similari rămân în coloane și continuăm să le adăugăm. Indiferent de tehnica efectuată, în cele din urmă, rezultatul va fi întotdeauna același, desigur, dacă se face corect.
Înmulțirea polinoamelor
Înmulțirea monomiilor sau a exercițiilor între polinoame și monomii, este o operație care se efectuează pentru a găsi produsul rezultat, între un monomial (expresie algebrică bazată pe înmulțirea unui număr și a unei litere ridicate la un exponent întreg pozitiv) și altul expresie, dacă acesta este un termen independent, un alt monom sau chiar un polinom (sumă finită de monomii și termeni independenți).
Cu toate acestea, la fel ca în cazul tuturor operațiilor matematice, înmulțirea polinoamelor are, de asemenea, o serie de pași care trebuie urmați la rezolvarea operației propuse, care pot fi rezumate în următoarele proceduri:
Primul lucru de făcut este să multiplicați monomiul prin expresia sa (înmulțiți semnele fiecăruia dintre termenii săi). După aceasta, valorile coeficientului sunt înmulțite și atunci când valoarea este găsită în acea operație, se adaugă literalul monomilor găsiți în termeni. Apoi, fiecare rezultat este notat în ordine alfabetică și, în cele din urmă, se adaugă fiecare exponent, care se află în literele de bază.
Divizia polinomială
Cunoscută și sub numele de metoda Ruffini. Ne permite să împărțim un polinom cu un binom și, de asemenea, ne permite să localizăm rădăcinile unui polinom pentru a-l factoriza în binomii. Cu alte cuvinte, această tehnică face posibilă divizarea sau descompunerea unui polinom algebric de grad n, într-un binom algebric și apoi într-un alt polinom algebric de grad n-1. Și pentru ca acest lucru să fie posibil, este necesar să cunoaștem sau să cunoaștem cel puțin una dintre rădăcinile polinomului unic, pentru ca separarea să fie exactă.
Este o tehnică eficientă de a împărți un polinom cu un binom de forma x - r. Regula lui Ruffini este un caz special de diviziune sintetică atunci când divizorul este un factor liniar. Metoda lui Ruffini a fost descrisă de matematicianul, profesorul și medicul italian Paolo Ruffini în 1804, care, pe lângă inventarea celebrei metode numite regula lui Ruffini, care ajută la găsirea coeficienților rezultatului fragmentării unui polinom de către binom; De asemenea, a descoperit și formulat această tehnică pe calculul aproximativ al rădăcinilor ecuațiilor.
Ca întotdeauna, când vine vorba de o operație algebrică, Regula lui Ruffini implică o serie de pași care trebuie îndepliniți pentru a ajunge la rezultatul dorit, în acest caz: găsiți coeficientul și restul inerente diviziunii oricărui tip de polinom și un binom de forma x + r.
În primul rând, la începerea operației, expresiile trebuie revizuite pentru a verifica sau a determina dacă sunt într-adevăr tratate ca polinoame și binomi care răspund la forma așteptată prin metoda regulii Ruffini.
Odată verificate aceste etape, polinomul este ordonat (în ordine descrescătoare). Odată terminat acest pas, se iau în considerare doar coeficienții termenilor polinomiali (până la cel independent), plasându-i pe rând de la stânga la dreapta. Unele spații sunt lăsate pentru termenii necesari (numai în cazul unui polinom incomplet). Semnul galerei este plasat în stânga rândului, care este alcătuit din coeficienți ai polinomului dividendului.
În partea stângă a galeriei, procedăm la plasarea termenului independent al binomului, care, acum, este divizor și semnul său este invers. Independența este înmulțită cu primul coeficient al polinomului, înregistrându-se astfel într-un al doilea rând sub primul. Apoi, al doilea coeficient și produsul termenului independent monomial sunt scăzute de primul coeficient.
Termenul independent al binomului este înmulțit cu rezultatul scăderii anterioare. Dar, de asemenea, este plasat în al doilea rând, care corespunde celui de-al patrulea coeficient. Operațiunea se repetă până la atingerea tuturor termenilor. Al treilea rând care a fost obținut pe baza acestor multiplicări este luat ca un coeficient, cu excepția ultimului său termen, care va fi considerat ca restul diviziunii.
Rezultatul este exprimat, însoțind fiecare coeficient al variabilei și gradul care îi corespunde, începând să le exprime cu un grad mai mic decât cel pe care îl aveau inițial.
- Teorema restului: este o metodă practică utilizată pentru a împărți un polinom P (x) la altul a cărui formă este xa; în care se obține doar valoarea restului. Pentru a aplica această regulă, sunt urmați pașii următori. Dividendul polinomial se scrie fără completare sau ordonare, apoi variabila x a dividendului este înlocuită cu valoarea opusă termenului independent al divizorului. Și, în cele din urmă, operațiunile sunt rezolvate în combinație.
Teorema restului este o metodă prin care putem obține restul unei diviziuni algebrice, dar în care nu este necesar să se facă nici o diviziune.
- Metoda lui Ruffini: Metoda sau regula lui Ruffini este o metodă care ne permite să împărțim un polinom la un binom și, de asemenea, ne permite să localizăm rădăcinile unui polinom pentru a le factoriza în binomii. Cu alte cuvinte, această tehnică face posibilă divizarea sau descompunerea unui polinom algebric de grad n, într-un binom algebric, și apoi într-un alt polinom algebric de grad n-1. Și pentru ca acest lucru să fie posibil, este necesar să cunoaștem sau să cunoaștem cel puțin una dintre rădăcinile polinomului unic, pentru ca separarea să fie exactă.
- Rădăcini polinomiale: rădăcinile unui polinom sunt anumite numere care fac un polinom în valoare de zero. De asemenea, putem spune că rădăcinile complete ale unui polinom cu coeficienți întregi vor fi divizori ai termenului independent. Când rezolvăm un polinom egal cu zero, obținem rădăcinile polinomului ca soluții. Ca proprietăți ale rădăcinilor și factorilor polinoamelor putem spune că zerourile sau rădăcinile unui polinom sunt cu divizorii termenului independent care aparține polinomului.
Acest lucru ne permite să aflăm restul împărțirii unui polinom p (x) cu altul de forma xa, de exemplu. Din această teoremă rezultă că un polinom p (x) este divizibil cu xa numai dacă a este o rădăcină a polinomului, numai dacă și numai dacă p (a) = 0. Dacă C (x) este coeficientul și R (x) este restul diviziunii oricărui polinom p (x) printr-un binom care ar fi (xa) valoarea numerică a lui p (x), pentru x = a, este egal cu restul diviziunii sale cu xa.
Atunci vom spune că: nP (a) = C (a) • (a - a) + R (a) = R (a). În general, pentru a obține restul unei diviziuni cu Xa, este mai convenabil să aplici regula lui Ruffini decât să înlocuiești x. Prin urmare, teorema restului este cea mai potrivită metodă pentru rezolvarea problemelor.
În lumea matematică, regula lui Ruffini este o tehnică eficientă pentru împărțirea unui polinom la un binom de forma x - r. Regula lui Ruffini este un caz special de diviziune sintetică atunci când divizorul este un factor liniar.
Metoda lui Ruffini a fost descrisă de matematicianul, profesorul și medicul italian Paolo Ruffini în 1804, care, pe lângă inventarea celebrei metode numite regula lui Ruffini, care ajută la găsirea coeficienților rezultatului fragmentării unui polinom de către binom; De asemenea, a descoperit și formulat această tehnică pe calculul aproximativ al rădăcinilor ecuațiilor.
Apoi, pentru fiecare rădăcină, de exemplu, de tipul x = a corespunde unui binom de tipul (xa). Este posibil să exprimăm un polinom în factori dacă îl exprimăm ca produs sau al tuturor binomilor de tip (xa) care corespund rădăcinilor, x = a, rezultatul respectiv. Trebuie remarcat faptul că suma exponenților binomilor este egală cu gradul polinomului, trebuie de asemenea luat în considerare faptul că orice polinom care nu are un termen independent va admite ca rădăcină x = 0, într-un alt mod, va admite ca o Factorul X.
Vom numi un polinom „prim” sau „ireductibil” atunci când nu există posibilitatea de a-l lua în calcul.
Pentru a aprofunda subiectul, trebuie să fim clari cu privire la teorema fundamentală a algebrei, care afirmă că este suficient ca un polinom într-o variabilă neconstantă și coeficienți complexi să aibă la fel de multe rădăcini ca și gradul lor, deoarece rădăcinile au multiplicități. Aceasta confirmă faptul că orice ecuație algebrică de grad n are n soluții complexe. Un polinom de grad n are maximum n rădăcini reale.
Exemple și exerciții
În această secțiune vom plasa câteva expresii algebrice rezolvate exerciții ale fiecăruia dintre subiectele tratate în această postare.
Exerciții de expresii algebrice:
- X ^ 2 - 9 / 2X + 6
(X + 3) * (X - 3) / 2 * (X + 3)
X - 3/2
- X ^ 2 + 2X + 1 / X ^ 2 - 1
(X + 1) ^ 2 / (X + 1) * (X - 1)
X + 1 / X - 1
Suma de polinoame
- 2x + 3x + 5x = (2 + 3 + 5) x = 10 x
- P (x) = 2 × 2 + 5x-6
Q (x) = 3 × 2-6x + 3
P (x) + Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) + (3 × 2-6x +3) = (2 × 2 + 3 × 2) + (5x-6x) + (-6 + 3) = 5 × 2-x-3
Scădere de polinoame
P (x) = 2 × 2 + 5x-6
Q (x) = 3 × 2-6x + 3
P (x) -Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) - (3 × 2-6x +3) = (2 × 2 + 5x-6) + (-3 × 2 + 6x-3) = (2 × 2-3 × 2) + (5x + 6x) + (-6-3) = -x2 + 11x-9
Divizia polinomială
- 8 a / 2 a = (8/2). (A / a) = 4
- 15 ay / 3a = (15/3) (ay) / a = 5 și
- 12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6
- -6 v2.c. x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2 v
Expresii algebrice (binomial pătrat)
(x + 3) 2 = x 2 + 2 • x • 3 + 32 = x 2 + 6 x + 9
(2x - 3) 2 = (2x) 2 - 2 • 2x • 3 + 32 = 4 × 2 - 12 x + 9
Teorema restului
(x4 - 3 × 2 + 2):(x - 3)
R = P (3) = 34 - 3 • 32 + 2 = 81 - 27 + 2 = 56
Înmulțirea monomiilor
axn bxm = (a b) xn + m
(5x²y³z) (2y²z²) = (2 · 5) x²y3 + 2z1 + 2 = 10x²y5z³
4x · (3x²y) = 12x³y
Diviziunea monomiilor
8 a / 2 a = (8/2). (A / a) = 4
15 ay / 3a = (15/3) (ay) / a = 5 și
12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6
-6 v2. c. x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2 v
Adunarea și scăderea monomiilor
Exercițiu: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2
Soluție: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2 = 3 × 3 + 2 × 3 + 2 × 2 - 4x + 5 -2 = 5 × 3 + 2 × 2 - 4x + 3
